Добавь сайт в закладки нажми CTRL+D
Представьте себе простую замкнутую линию на плоскости — круг, овал или кривую, нарисованную от руки без отрыва карандаша, которая нигде не пересекает саму себя и в конце возвращается в начальную точку.
Кажется очевидным, что на такой кривой всегда можно выбрать четыре точки, которые образуют квадрат. Не прямоугольник и не ромб, а именно квадрат с равными сторонами и прямыми углами. Но очевидно не значит доказано.
Этот наивный на первый взгляд вопрос оказался настолько глубоким, что математики обсуждают его уже больше ста лет.
В 1911 году немецкий математик Отто Тёплец сформулировал задачу, которая сегодня известна как Square Peg Problem или, если дословно, задача о квадратном колышке.
Он задумался, верно ли, что любая простая замкнутая кривая на плоскости содержит вершины некоторого квадрата. Формулировка выглядит почти очевидной. Но именно такие задачи чаще всего оказываются самыми «опасными».
Главная трудность скрывается в слове «любая». В математике простая замкнутая кривая — это не только круг или аккуратный овал. Это может быть чрезвычайно сложная, извивающаяся линия, которая бесконечно приближается к самой себе, имеет фрактальную структуру и выглядит скорее как помеха на экране, чем как геометрическая фигура.
В 1989 году Вальтер Стромквист показал, что если кривая является локально монотонной, то есть в малых масштабах ведёт себя без резких возвратов и петель, то квадрат на ней обязательно найдётся. В более неформальном смысле это означает, что почти любую кривую, которую можно действительно нарисовать от руки, нельзя лишить вписанного квадрата.
Тот же результат верен для гладких, выпуклых кривых, а также для кривых, составленных из кусочков графиков непрерывных функций.
Однако в самом общем случае задача остаётся открытой. Для произвольной кривой до сих пор не найдено ни доказательство существования квадрата, ни контрпримера. Мы не знаем, всегда ли он существует, или же где-то в теоретическом пространстве скрывается настолько хитро устроенная кривая, что на ней невозможно выбрать четыре точки, образующие квадрат.
Попытки решить задачу в лоб постоянно упираются в неожиданные проблемы. Кажется естественным попытаться непрерывно двигать квадрат вдоль кривой, подстраивая его положение и ориентацию, но пространство возможных конфигураций оказывается слишком сложным. Топологические методы, которые успешно работают в похожих задачах, здесь неожиданно дают сбой, а привычные аргументы непрерывности перестают быть достаточными.
Именно поэтому задача Тёплеца стала чем-то большим, чем просто геометрическая головоломка. Эта задача наглядно показывает, что даже самые простые объекты могут вести себя куда сложнее, чем кажется на первый взгляд.
Сегодня можно уверенно сказать следующее: для всех кривых, с которыми мы сталкиваемся в реальном мире и которые можно считать нормальными, вписанный квадрат гарантированно существует. Но для самой общей математической абстракции ответ всё ещё неизвестен. Уже более ста лет математики не могут с уверенностью сказать, спрятан ли квадрат в любой замкнутой кривой или же существует исключение, которое навсегда ускользает от интуиции.
Поделись видео: