Добавь сайт в закладки! Инструкция по ссылке.
Российский ученый-математик Иван Ремизов совершил прорыв в науке, предложив новую формулу для решения уравнений, которые казались неразрешимыми аналитическим путем около двухсот лет. Своими результатами он поделился в статье, вышедшей во Владикавказском математическом журнале. Об этом рассказали в пресс-службе НИУ ВШЭ, где работает специалист.
Напомним, школьникам хорошо известна простая формула нахождения корней квадратного уравнения. Но жизнь сложнее учебника, и перед учеными часто встают задачи, выраженные в виде дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих переменные коэффициенты. Такие уравнения имеют вид ay′′ + by′ + cy = g, где коэффициенты — не числа, а функции.
Французский математик XIX века Жозеф Лиувилль показал, что точные решения подобных уравнений невозможно записать простыми алгебраическими операциями и стандартными функциями вроде синусов-косинусов или экспонент. Этот вывод привел ученых к мысли, что общее выражение решений вообще отсутствует, и дальнейшие поиски были прекращены.
Иван Ремизов решил проблему иначе: сохранив доказательство Лиувилля, он добавил в список разрешенных операций новое действие — предельный переход. Благодаря этому удалось вывести общую формулу, позволяющую подставлять конкретные значения коэффициентов и получать точное решение.
Для достижения результата ученый использовал теорию аппроксимаций Чернова. Суть подхода заключается в следующем: сложная операция заменяется последовательностью простых действий, каждое из которых задается элементарной функцией. Когда число таких шагов стремится к бесконечности, получается точное решение исходной задачи.
Чтобы упростить понимание, представьте себе видеоролик, состоящий из множества отдельных кадров. Каждый кадр — это простейшая версия конечного изображения, и при увеличении количества кадров мы получаем четкую картинку. Аналогично происходит и здесь: бесконечно повторяя простой алгоритм, удается точно восстановить искомое решение.
Кроме того, этот метод открывает новые возможности для изучения так называемых специальных функций — например, функций Матье и Хилла. Ранее ученые могли лишь косвенно описать свойства этих объектов через сами уравнения, теперь же появляется шанс представить их явно, благодаря простым вычислительным процедурам.
Поделись видео:
