Что происходит при делении на ноль. И почему умножать на 0 можно, а делить — нельзя?

Знаете, в чем главный секрет математики? В том, что она, с одной стороны, целиком выдумка человека. А с другой — мир поразительно точно описывается с помощью математики.

Ответ на этот философский вопрос пока так и не найден.

Математика умеет предсказывать движение планет и взрывы звезд, но пасует перед детской задачей — делением на пустоту.

Возможно, деление на ноль — это трещина в зеркале нашего разума. Место, где математическая логика упирается в собственные пределы. Давайте заглянем за эти пределы и разберем, что же ломается, когда мы делим на ноль.

Софизм, который доказал, что 1 = 2

Почему нельзя делить на ноль? Потому что это разрушит всю арифметику. Если мы разрешим это одно действие, то сможем математически доказать любую чушь.

Возьмем классический софизм. Тут будет немножко формул, но, обещаю, они будут максимально простыми.

Представим, пусть a = b. Умножим обе стороны на a: получится a² = ab.

Вычтем b² из обеих сторон: a² − b² = ab − b². Все логично? Вполне!

Разложим на множители: (a − b)(a + b) = b(a − b). А теперь внимание — разделим обе части на (a − b).

Получается: a + b = b. Раз a = b, то заменим: 2b = b. Разделим на b и вуаля — 2 = 1.

Где подвох? На четвертом шаге мы разделили на (a − b).

Но поскольку a = b, то разность равна нулю. Ошибка деления на ноль превратила математику в абсурд. Все числа стали равны друг другу. Вот почему нельзя делить на ноль в математике — это не запрет вредного учителя математики, а предохранитель от хаоса.

Ноль на ноль: когда слишком много ответов хуже, чем ни одного

Что будет если разделить на ноль обычное число вроде десятки? Тупик. Если 10/0 = x, то должно выполняться 10 = 0 × x. Не существует такого числа, которое при умножении на ноль даст десять. Решений нет.

А вот ноль делить на ноль — совсем другая история. Если 0/0 = x, то получается 0 = 0 × x. И тут любое число подходит! Пять, миллион, минус семнадцать — все работает.

Неопределенность 0/0 хуже обычного запрета: здесь слишком много правильных ответов.

Как деление на ноль сломало военный крейсер

В программировании деление на ноль может привести к реальным проблемам.

В 1997 году на борту ракетного крейсера USS Yorktown член экипажа случайно ввел ноль в базу данных. Система попыталась использовать это значение в расчетах и рухнула. Компьютерная сеть корабля отключилась, закрыв все клапаны топлива. Двигатели заглохли.

Могучий военный корабль три часа беспомощно дрейфовал в океане. Вызвали буксир. Но в итоге экипаж смог перезагрузить систему в море и вернуться своим ходом.

Арифметическая ошибка обездвижила боевую единицу стоимостью в сотни миллионов долларов.

Деление на ноль в коде дает разные реакции. Целые числа убивают программу мгновенно — процессор генерирует аппаратное прерывание, операционка ловит сигнал бедствия и закрывает приложение.

Дробные числа хитрее. Стандарт IEEE 754 выдает специальные значения Infinity или NaN (Not a Number), чтобы расчеты не останавливались. Программа продолжает работать, но внутри гуляют зараженные данные. Если такой NaN попадет в банковскую систему или управление самолетом — жди проблем.

Почему же умножать на 0 в математике можно?

Умножать на ноль можно, потому что это действие логично и предсказуемо: ведь складывать «ничто» можно сколько угодно раз без всяких парадоксов.

Это операция-уничтожитель, которая просто схлопывает любое, даже самое гигантское число в точку, стирая информацию о его размере. Математика спокойно допускает такое сжигание мостов, потому что превратить что-то в ничто легко и не вызывает ошибок в расчетах — запрещено лишь обратное действие (деление), когда из получившегося нуля требуют волшебным образом восстановить исходное число.

Где ноль побеждает: экзотические миры математики

Существуют ли разделы, где деление на ноль разрешено? Да, но там переписаны правила игры.

На сфере Римана математики свернули бесконечную плоскость в шар. Все направления бесконечности сходятся в одной точке — «северном полюсе». В этой геометрии 1/0 = ∞ и 1/∞ = 0 работают легально. Физический смысл бесконечности обретает конкретное место в пространстве.

А в матанализе мы смотрим, что происходит при делении на ноль, когда знаменатель стремится к нему.

График функции y = 1/x показывает: при приближении справа результат улетает в плюс бесконечность, слева — в минус. Предела при делении на ноль не существует, потому что направления не совпадают.

Почему деление на ноль не имеет смысла? Потому что это попытка получить результат движения без самого движения. Получить время прибытия при нулевой скорости. Восстановить информацию из абсолютной пустоты.

Ноль — не очень маленькое число. Это отсутствие величины. И переход от «почти ничего» к «совсем ничего» — не плавное изменение, а качественный скачок через непреодолимую пропасть.

Поэтому, даже деление на ноль — верно отражает нашу реальность! Математика и тут не подвела.