Добавь сайт в закладки нажми CTRL+D
Более века простая, но хитрая математическая задача продолжала ставить в тупик экспертов. Математики пытались найти минимальное количество частей, на которые можно разрезать равносторонний треугольник и сложить из них идеальный квадрат.
Задача, известная как «разрезание Дьюдени» или «задача галантерейщика», была впервые сформулирована в 1902 году, когда английский математик-самоучка и автор головоломок Генри Дьюдени предложил своим читателям разрезать равносторонний треугольник на минимальное количество частей и сложить из них квадрат.
Через две недели он поделился решением Чарльза Уильяма Макэлроя, клерка из Манчестера, который часто присылал ему ответы на головоломки. Макэлрой нашёл способ сделать квадрат из четырёх частей от треугольника.
Ещё через две недели автор головоломок подтвердил, что никто не нашёл лучшего решения. Но оставался неясный вопрос, возможно ли решение с меньшим количеством частей. В теории графов, граф — это сеть линий, называемых рёбрами, и точек, где они соединяются, называемых вершинами.
Столетняя математическая головоломка
Спустя 122 года команда математиков решила эту головоломку, доказав, что решения с меньшим количеством частей не существует.
Тонан Камата, математик из Японского передового института науки и технологий (JAIST), вместе с Рюхэем Уэхарой и Эриком Демейном, коллегой из Массачусетского технологического института, разрабатывали новый подход к решению задач складывания оригами с использованием теории графов.
Сравнивая рёбра и вершины различных графов, математики могут обнаружить более глубокие связи между структурами. Камата полагал, что этот метод поможет решить задачу разрезания Дьюдени.
При разборе головоломки эксперты выяснили, что решение из двух частей невозможно из-за ограничений задачи. А треугольник и квадрат должны иметь одинаковую площадь, так как они состоят из одних и тех же частей.
Самый длинный возможный разрез в квадрате — это его диагональ. Однако простые расчёты показывают, что диагональ слишком коротка, чтобы соответствовать стороне треугольника равной площади. Это исключило решение из двух частей.
Доказать невозможность решения из трёх частей оказалось сложнее. Математики обнаружили, что существует бесконечное количество способов разрезать треугольник на три части.
«Каждая из этих частей могла иметь произвольное количество рёбер, а координаты этих разрезов начинаются в произвольных точках», — сказал Демейн. «У вас есть эти непрерывные параметры, где множество бесконечностей возможных вариантов, что делает задачу раздражающе сложной. Вы не можете просто решить её методом грубой силы с помощью компьютера».
Загадка решена, 122-летние дебаты окончены
Чтобы решить головоломку, команда сгруппировала возможные разрезания равностороннего треугольника на основе того, как разрезы пересекают его стороны. Сначала они сузили бесконечное количество способов разрезать треугольник до пяти различных классификаций.
Затем применили тот же метод к квадрату и определили 38 уникальных классификаций. После этого математики попытались сопоставить треугольный граф с квадратным, прослеживая все возможные пути в каждой фигуре и сравнивая длины рёбер и углы.
Если бы путь в квадрате совпал с путём в треугольнике, это подтвердило бы существование решения из трёх частей. Эта стратегия почти превратила непрерывную задачу в дискретную.
«В каждой классификации по-прежнему существует бесконечно много мест, куда могут попасть все эти вершины», — говорит Демейн.
Исследователи разработали сложные леммы — промежуточные шаги в теореме для решения математической задачи. Используя доказательство от противного, они показали, что совпадающих путей не существует.
Если авторы упростят своё доказательство, метод совпадающих диаграмм может помочь решить многие другие открытые вопросы, связанные с оригами.
«Эти задачи напоминают нам, сколько ещё предстоит открыть», — говорит Камата. «Любой может стать первопроходцем на этом рубеже».
